Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-2|．
（1）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）解不等式f（x）＜3；
（3）設(shè)a＞0，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）寫出函數(shù)f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 -x(x-2)，x＜2

，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)絕對值的幾何意義，分類討論，f（x）＜3等價于

x≥2 x2-2x-3＜0

或

x＜2 x2-2x-3＞0

，從而可得不等式f（x）＜3的解集；
（3）對參數(shù)a分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求f（x）在[0，a]上的最大值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 -x(x-2)，x＜2

．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1]和[2，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是[1，2]
（2）f（x）＜3等價于

x≥2 x2-2x-3＜0

或

x＜2 x2-2x-3＞0

∴2≤x＜3或x＜2
∴不等式f（x）＜3的解集為{x|x＜3}
（3）①當(dāng)0＜a＜1時，f（x）是[0，a]上的增函數(shù)，此時（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；
②當(dāng)1≤a≤2時，f（x）在[0  1]上是增函數(shù)，在[1，a]上是減函數(shù)，此時f（x）在[0  a]上的最大值是f（1）=1
③當(dāng)a＞2時，令f（a）-f（1）=a（a-2）-1=a2-2a-1＞0，解得a＞1+

2

（�。┊�(dāng)2＜a≤1+

2

時，此時f（a）≤f（1），f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
（ⅱ）當(dāng)a＞1+

2

時，此時f（a）＞f（1），f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（a-2）
綜上，當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在[0，a]上的最大值是a（2-a）．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查解不等式，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．