Question

1-x+x2-x3+…-x19+x20=a0+a1y+…+a20y20，其中y=x+1，則a₂=

1330

．

Answer 1

分析：把所給的式子兩側(cè)對x求導，在把得到的式子再次對x求導可得 2-6x+12x²+…+20×19x¹⁸=2a₂+6a₃y+…+20×19y¹⁸．令x=-1，則y=0，上式變?yōu)?2+6+12+20+…+19×20=2a₂，
 即 a₂=

1×2+2×3+3×4+…+19×20

2

，再將此式變形，求得結(jié)果．

解答：解：∵1-x+x2-x3+…-x19+x20=a0+a1y+…+a20y20，y=x+1，
兩側(cè)對x求導，可得-1+2x-3x²+4x³+…+20x¹⁹=a₁+2a₂y+3a₃y²+…+20a₂₀y¹⁹．
兩側(cè)再對x求導，可得 2-6x+12x²+…+20×19x¹⁸=2a₂+6a₃y+…+20×19y¹⁸．
令x=-1，則y=0，上式變?yōu)?2+6+12+20+…+19×20=2a₂，
即 a₂=

1×2+2×3+3×4+…+19×20

2

=

0×1×2+1×2×3

3

+

-1×2×3+2×3×4

3

+

-2×3×4+3×4×5

3

+…+

-18×19×20+19×20×21

3

 
=

0×1×2+19×20×21

3

=1330，
故答案為 1330．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，求展開式中某項的系數(shù)，常用的方法是賦值法，式子的變形是解題的關鍵和難點，屬于中檔題．