Question

（2012•通州區(qū)一模）對(duì)于數(shù)列{a_n}，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差依次組成等比數(shù)列，稱該等比數(shù)列為數(shù)列{a_n}的“差等比數(shù)列”，記為數(shù)列{b_n}．設(shè)數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=2，公比為q（q為常數(shù)）．
（I）若q=2，寫出一個(gè)數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)；
（II）（�。┡袛鄶�(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明你的理由；
（ⅱ）a₁與q滿足什么條件，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（III）若a₁=1，1＜q＜2，數(shù)列{a_n+c_n}是公差為q的等差數(shù)列（n∈N*），且c₁=q，求使得c_n＜0成立的n的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=2，q=2，所以b₂=4，b₃=8，由此能夠求出一個(gè)數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)．
（Ⅱ）（�。┮�?yàn)閎₁=2，所以an-a1=2(1+q+q2+…+qn-2)．q=1時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．若q≠1時(shí)，數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列．
（ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=2，公比為q，所以b₂=2q，b3=2q2．所以a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q．因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等比數(shù)列，所以a22=a1•a3，所以當(dāng)q=

a1+2

a1

時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（Ⅲ）因?yàn)閧a_n+c_n}是公差為q的等差數(shù)列，所以（a_n+c_n）-（a_n-1+c_n-1）=q，由此猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，c_n＜0．再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=2，q=2，
所以b₂=4，b₃=8，
所以a₁=1，a₂=3，a₃=7，a₄=15．（寫出滿足條件的一組即可）
…（2分）
（Ⅱ）（�。┮�?yàn)閎₁=2，
所以a₂-a₁=2，a₃-a₂=2q，a4-a3=2q2，…，an-an-1=2qn-2，n≥2．
所以an-a1=2(1+q+q2+…+qn-2)．
①若q=1，所以a_n-a_n-1=2，
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．…（3分）
②若q≠1，所以an=

2(1-qn-1)

1-q

+a1，
所以a_n+1-a_n=

2(1-qn)

1-q

-

2(1-qn-1)

1-q

=

2qn-1-2qn

1-q

=2q^n-1．
因?yàn)閝≠1，所以2q^n-1不是常數(shù)．
所以數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列．…（5分）
（ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=2，公比為q，
所以b₂=2q，b3=2q2．所以a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q．
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
所以a22=a1•a3，
即（a₁+2）²=a₁•（a₁+2+2q），
所以q=

a1+2

a1

．
所以當(dāng)q=

a1+2

a1

時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．…（7分）
（Ⅲ）因?yàn)閧a_n+c_n}是公差為q的等差數(shù)列，
所以（a_n+c_n）-（a_n-1+c_n-1）=q，
又an-an-1=2qn-2，
所以cn-cn-1=q-2qn-2，
所以cn-1-cn-2=q-2qn-3，…，c₃-c₂=q-2q，c₂-c₁=q-2，
所以cn=nq-2(qn-2+qn-3+…+q+1）
=nq-

2(1-qn-1)

1-q

．…（9分）
所以c₁=q＞0，c₂=2（q-1）＞0，c₃=q-2＜0，
c₄=-2（q²-q+1）=-2（q-

1

2

）²-

3

2

＜0，…
猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，c_n＜0．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=3時(shí)，c₃＜0顯然成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，c_k＜0，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，cn+1=cn+q-2qn-1＜q-2q^k-1=q（1-2q^k-2），
因?yàn)?＜q＜2，k≥3，
所以1-2q^k-2＜0．
所以c_n+1＜0，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，c_n+1＜0成立．
由①、②所述，當(dāng)n≥3時(shí)，恒有c_n＜0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．