Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足(p-1)Sn=p2-an，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=logpan(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題可得(p-1)an=(p-1)(Sn-Sn-1)=p2-an-(p2-an-1)=an-1-an（n≥2），整理得pa_n=a_n-1，判定為等比數(shù)列，求出a₁后，即可求出通項(xiàng)公式．
（2）bn=logpan=logp(

1

p

)n-2=2-n，易知從第三項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，或求出Tn不等式從函數(shù)角度求最值．

解答：解：（1）由題可得：(p-1)an=(p-1)(Sn-Sn-1)=p2-an-(p2-an-1)=an-1-an，
整理得：pa_n=a_n-1，∵p＞0．
∴

an

an-1

=

1

p

，又(p-1)S1=p2-a1，可得a₁=p，
所以數(shù)列{a_n}是以

1

p

為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列，
通項(xiàng)公式an=p•(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2
（2）bn=logpan=logp(

1

p

)n-2=2-n，
（方法一）由b_n=2-n≥0⇒n≤2，即當(dāng)n=1或2時(shí)，T_n有最大值1．
（方法二）T_n=（2-1）+（2-2）+…+（2-n）=2n-（1+2+…n）=2n-

n(1+n)

2

=

-n2+3n

2

=-

1

2

(n-

3

2

)2+

9

8

即當(dāng)n=1或2時(shí)，T_n有最大值1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解．考查變形構(gòu)造，轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．