Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ（3cosθ+4sinθ）=m，曲線C₂的參數(shù)方程為

x=-1+2cosθ y=2+2sinθ

（θ為參數(shù)）．
（1）若m=12，試確定C₁與C₂公共點的個數(shù)；
（2）已知曲線C₃的參數(shù)方程為

x=t y=-3t2

（t為參數(shù)），若直線C₁與C₃相切，求m的值．

Answer 1

分析：（1）求出直線C₁的直角坐標(biāo)方程、曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離小于半徑，從而得到直線和圓相交，從而得到C₁與C₂公共點的個數(shù)．
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出 a=

1

8

，從而求得b的值，進而求得m=3a+4b 的值．

解答：解：（1）若m=12，直線C₁的極坐標(biāo)方程ρ（3cosθ+4sinθ）=m化為直角坐標(biāo)方程為 3x+4y-12=0，
曲線C₂的參數(shù)方程為

x=-1+2cosθ y=2+2sinθ

（θ為參數(shù)），化為直角坐標(biāo)方程為 （x+1）²+（y-2）²=4，
圓心（-1，2）到直線C₁的距離等于

|-1×3+4×2-12|

9+16

=

7

5

，小于半徑，故直線和圓相交，故C₁與C₂公共點的個數(shù)為2．
（2）已知曲線C₃的參數(shù)方程為

x=t y=-3t2

（t為參數(shù)），化為直角坐標(biāo)方程為 y=-3x²，∴y^′=-6x，
設(shè)直線C₁與C₃相切時的切點M（a，b），故切線的斜率等于-6a=-

3

4

，解得 a=

1

8

，
∴b=-3a²=-

3

64

，
∴m=3a+4b=

3

16

．

點評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．