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7．

如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B、C兩點，PA=3，PB=1，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D和E．
（I）求證PA•DC=PC•DB；
（Ⅱ）求 AD•AE的值．

分析（1）由已知條件推導(dǎo)出△PAB∽△PCA，AD是∠BAC的角平分線，由此能夠證明PA•DC=PC•DB．
（2）由切割線定理求出PC=40，BC=30，由已知條件條件推導(dǎo)出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值

解答證明：（Ⅰ）∵AP為圓O的切線，∴∠PAB=∠ACP，
又∠P為公共角，∴△PAB∽△PCA，
∴ $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AP}{PC}$ ，
∵AD是∠BAC的角平分線，∴ $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ ．
∴ $\frac{DB}{DC}=\frac{AP}{PC}$ ，∴PA•DC=PC•DB． …（5分）
（2）解：∵PA為圓O的切線，BC是過點O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∴PC=9，BC=8，
又∵∠CAB=90°，∴AC²+AB²=BC²=64，
又由（Ⅰ）知 $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AP}{PC}$ = $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ ，
∴ $AC=\frac{{12\sqrt{10}}}{5}，AB=\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$ ，
連接EC，則∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，∴ $\frac{AB}{AE}$ = $\frac{AD}{AC}$ ，
∴AD•AE=AB•AC= $\frac{4\sqrt{10}}{5}•\frac{12\sqrt{10}}{5}$ = $\frac{96}{5}$ ．…（10分）

點評本題考查三角形相似的證明和應(yīng)用，考查線段乘積的求法，是中檔題，解題時要注意切割線定理的合理運用．

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18．

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A．

B．

C．

D．

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A．

$\frac{2}{3}$

B．

$\frac{3}{8}$

C．

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D．

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19．?dāng)?shù)列1，

$\frac{1}{2}$ ，

$\frac{2}{1}$ ，

$\frac{1}{3}$ ，

$\frac{2}{2}$ ，

$\frac{3}{1}$ ，

$\frac{1}{4}$ ，

$\frac{2}{3}$ ，

$\frac{3}{2}$ ，

$\frac{4}{1}$ ，…，則

$\frac{3}{5}$ 是該數(shù)列的第24項．

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