【題目】正方形的邊長為2，，分別為，的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，平面平面.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用正方形的性質可得垂直于面，得到又，所以再由已知條件即可證明．

（2）作，垂足為，由（1）得，平面，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.

解：（1）由已知可得，平面平面，平面，，

平面平面，所以平面，

，又，所以，又，

且，所以平面.

（2）作，垂足為，由（1）得，平面.

以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

由（1）可得，.又，，所以.故.

可得，.

則，，，，，，，

由（1）知：為平面的法向量，.

設平面的法向量為，則：，即，

所以，令，則，.

則.

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】關于旋轉體的體積，有如下的古爾丁（guldin）定理：“平面上一區(qū)域D繞區(qū)域外一直線（區(qū)域D的每個點在直線的同側，含直線上）旋轉一周所得的旋轉體的體積，等于D的面積與D的幾何中心（也稱為重心）所經過的路程的乘積”．利用這一定理，可求得半圓盤，繞直線x旋轉一周所形成的空間圖形的體積為_____．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某機器生產商，對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質保期后兩年內的延保維修方案：

方案一：交納延保金元，在延保的兩年內可免費維修次，超過次每次收取維修費元;

方案二：交納延保金元，在延保的兩年內可免費維修次，超過次每次收取維修費元.

某工廠準備一次性購買兩臺這種機器，現(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了臺這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數(shù)，統(tǒng)計得下表：

維修次數(shù)

0

1

2

3

機器臺數(shù)

20

10

40

30

以上臺機器維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記表示這兩臺機器超過質保期后延保兩年內共需維修的次數(shù).

求的分布列；

以所需延保金與維修費用之和的期望值為決策依據，該工廠選擇哪種延保方案更合算？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知中，邊，，令，，，過邊上一點（異于端點）引邊的垂線，垂足為，再由引邊的垂線，垂足為，又由引邊的垂線，垂足為，同樣的操作連續(xù)進行，得到點列、、，設（）；

（1）求；

（2）結論“”是否正確？請說明理由；

（3）若對于任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是函數(shù)（，，，）在區(qū)間上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只需將（）的圖象上的所有的點（　�。�

A. 向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>，縱坐標不變

B. 向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，縱坐標不變

C. 向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>，縱坐標不變

D. 向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，縱坐標不變

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在2018年10月考考試中，成都外國語學校共有250名高三文科學生參加考試，數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖：

（1）如果成績大于130的為特別優(yōu)秀，這250名學生中本次考試數(shù)學成績特別優(yōu)秀的大約多少人？

（2）如果這次考試語文特別優(yōu)秀的有5人，語文和數(shù)學兩科都特別優(yōu)秀的共有2人，從（1）中的數(shù)學成績特別優(yōu)秀的人中隨機抽取2人，求選出的2人中恰有1名兩科都特別優(yōu)秀的概率．

（3）根據（1），（2）的數(shù)據，是否有99%以上的把握認為語文特別優(yōu)秀的同學，數(shù)學也特別優(yōu)秀？

①

②

P（）

0.50

0.40

…

0.010

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

…

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某部門經統(tǒng)計，客戶對不同款型理財產品的最滿意程度百分比和對應的理財總銷售量（萬元）如下表（最滿意度百分比超高時總銷售量最高）：

產品款型

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

最滿意度%

20

34

25

19

26

20

19

24

19

13

總銷量（萬元）

80

89

89

78

75

71

65

62

60

52

設表示理財產品最滿意度的百分比，為該理財產品的總銷售量（萬元）.這些數(shù)據的散點圖如圖所示.

（1）在份款型理財產品的顧客滿意度調查資料中任取份；只有一份最滿意的，求含有最滿意客戶資料事件的概率.

（2）我們約定：相關系數(shù)的絕對值在以下是無線性相關，在以上（含）至是一般線性相關，在以上（含）是較強線性相關，若沒有達到較強線性相關則采取“末位”剔除制度（即總銷售量最少的那一款產品退出理財銷售）；試求在剔除“末位”款型后的線性回歸方程（系數(shù)精確到）.

數(shù)據參考計算值：

項目

值

21.9

72.1

288.9

37.16

452.1

17.00

附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：

線性相關系數(shù) .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的焦距為，點在橢圓上，且的最小值是（為坐標原點）.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）已知動直線與圓：相切，且與橢圓交于，兩點.是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，矩形中，，為邊的中點.將沿直線翻折成（點不落在底面內).若為線段的中點，則在翻轉過程中，以下命題正確的是（ ）

A.四棱錐體積最大值為

B.線段長度是定值；

C.平面一定成立；

D.存在某個位置，使；

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