【題目】正方形的邊長為2,,分別為,的中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,平面平面.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)利用正方形的性質(zhì)可得垂直于面,得到又,所以再由已知條件即可證明.
(2)作,垂足為,由(1)得,平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出二面角的余弦值.
解:(1)由已知可得,平面平面,平面,,
平面平面,所以平面,
,又,所以,又,
且,所以平面.
(2)作,垂足為,由(1)得,平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由(1)可得,.又,,所以.故.
可得,.
則,,,,,,,
由(1)知:為平面的法向量,.
設(shè)平面的法向量為,則:,即,
所以,令,則,.
則.
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于旋轉(zhuǎn)體的體積,有如下的古爾。guldin)定理:“平面上一區(qū)域D繞區(qū)域外一直線(區(qū)域D的每個點(diǎn)在直線的同側(cè),含直線上)旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積,等于D的面積與D的幾何中心(也稱為重心)所經(jīng)過的路程的乘積”.利用這一定理,可求得半圓盤,繞直線x旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形的體積為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某機(jī)器生產(chǎn)商,對一次性購買兩臺機(jī)器的客戶推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修方案:
方案一:交納延保金元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修次,超過次每次收取維修費(fèi)元;
方案二:交納延保金元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修次,超過次每次收取維修費(fèi)元.
某工廠準(zhǔn)備一次性購買兩臺這種機(jī)器,現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)購買哪種延保方案,為此搜集并整理了臺這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù),統(tǒng)計(jì)得下表:
維修次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
機(jī)器臺數(shù) | 20 | 10 | 40 | 30 |
以上臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替一臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率,記表示這兩臺機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).
求的分布列;
以所需延保金與維修費(fèi)用之和的期望值為決策依據(jù),該工廠選擇哪種延保方案更合算?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中,邊,,令,,,過邊上一點(diǎn)(異于端點(diǎn))引邊的垂線,垂足為,再由引邊的垂線,垂足為,又由引邊的垂線,垂足為,同樣的操作連續(xù)進(jìn)行,得到點(diǎn)列、、,設(shè)();
(1)求;
(2)結(jié)論“”是否正確?請說明理由;
(3)若對于任意,不等式恒成立,求的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)(,,,)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將()的圖象上的所有的點(diǎn)( 。
A. 向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標(biāo)不變
B. 向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,縱坐標(biāo)不變
C. 向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標(biāo)不變
D. 向左平移個長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在2018年10月考考試中,成都外國語學(xué)校共有250名高三文科學(xué)生參加考試,數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖:
(1)如果成績大于130的為特別優(yōu)秀,這250名學(xué)生中本次考試數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的大約多少人?
(2)如果這次考試語文特別優(yōu)秀的有5人,語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有2人,從(1)中的數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的人中隨機(jī)抽取2人,求選出的2人中恰有1名兩科都特別優(yōu)秀的概率.
(3)根據(jù)(1),(2)的數(shù)據(jù),是否有99%以上的把握認(rèn)為語文特別優(yōu)秀的同學(xué),數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀?
①
②
P() | 0.50 | 0.40 | … | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | … | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某部門經(jīng)統(tǒng)計(jì),客戶對不同款型理財(cái)產(chǎn)品的最滿意程度百分比和對應(yīng)的理財(cái)總銷售量(萬元)如下表(最滿意度百分比超高時總銷售量最高):
產(chǎn)品款型 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
最滿意度% | 20 | 34 | 25 | 19 | 26 | 20 | 19 | 24 | 19 | 13 |
總銷量(萬元) | 80 | 89 | 89 | 78 | 75 | 71 | 65 | 62 | 60 | 52 |
設(shè)表示理財(cái)產(chǎn)品最滿意度的百分比,為該理財(cái)產(chǎn)品的總銷售量(萬元).這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.
(1)在份款型理財(cái)產(chǎn)品的顧客滿意度調(diào)查資料中任取份;只有一份最滿意的,求含有最滿意客戶資料事件的概率.
(2)我們約定:相關(guān)系數(shù)的絕對值在以下是無線性相關(guān),在以上(含)至是一般線性相關(guān),在以上(含)是較強(qiáng)線性相關(guān),若沒有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)則采取“末位”剔除制度(即總銷售量最少的那一款產(chǎn)品退出理財(cái)銷售);試求在剔除“末位”款型后的線性回歸方程(系數(shù)精確到).
數(shù)據(jù)參考計(jì)算值:
項(xiàng)目 |
|
|
|
| ||
值 | 21.9 | 72.1 | 288.9 | 37.16 | 452.1 | 17.00 |
附:回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為:
線性相關(guān)系數(shù) .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的焦距為,點(diǎn)在橢圓上,且的最小值是(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知動直線與圓:相切,且與橢圓交于,兩點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,為邊的中點(diǎn).將沿直線翻折成(點(diǎn)不落在底面內(nèi)).若為線段的中點(diǎn),則在翻轉(zhuǎn)過程中,以下命題正確的是( )
A.四棱錐體積最大值為
B.線段長度是定值;
C.平面一定成立;
D.存在某個位置,使;
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