Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.

(Ⅰ)求證：AO⊥平面BCD；

(Ⅱ)求異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大��；

(Ⅲ)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

Answer 1

方法一：

(Ⅰ)證明：連結(jié)OC

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.

    在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=,而AC=2，

∴AO²+CO²=AC²,

∴∠AOC=90°，即AO⊥OC.

∵BD∩OC=O.

∴AD⊥平面BCD.

(Ⅱ)解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB，OE∥DC.

∴直線(xiàn)OE與EM所成的銳角就是異面直線(xiàn)AB與CD所成的角.在△OME中，

EM=AB=,OE=DC=1,

∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線(xiàn)，

∴OM=AC=1,

∴cos∠OEM=,

∴異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大小為arccos.

(Ⅲ)解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.

∵V_E—ACD=V_A—CDE，

∴h·S_△ACD=·AO·S_△CDE

    在△ACD中，CA=CD=2，AD=，

∴S_△ACM=××=.

    而AO=1，S_△CDE=××2²=，

∴h=.

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為.

方法二：

(Ⅰ)同方法一.

(Ⅱ)解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，)，A(0，0，1)，E(，，0)，=(-1，0，1)，=(-1，-，0).

∴cos〈,〉==，

∴異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大小為arccos.

(Ⅲ)解：設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則

∴

    令y=1,得=(-,1,)是平面ACD的一個(gè)法向量

    又=(-,,0),

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離h==.