Question

已知函數(shù)f(x)=(x2-

2

a

x+

1

a

)eax(a＞0)
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（I）a=1時(shí)，可求得切線的斜率k=f′（0）及f（0），從而利用直線的點(diǎn)斜式可得函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程；
（II）求得f′（x）═（ax²+

a-2

a

）e^ax，討論ax²+

a-2

a

的符號(hào)，即可研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（I）a=1時(shí)，f（x）=（x²-2x+1）e^x，f′（x）=（x²-1）e^x，
于是f（0）=1，f′（0）=-1，
所以函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程為y-1=-（x-0），即x+y-1=0．
（II）f′（x）=（2x-

2

a

）e^ax+（x²-

2

a

x+

1

a

）•a•e^ax
=（2x-

2

a

+ax²-2x+1）e^ax
=（ax²+

a-2

a

）e^ax，
∵a＞0，e^ax＞0，
∴只需討論ax²+

a-2

a

的符號(hào)．
ⅰ）當(dāng)a＞2時(shí)，ax²+

a-2

a

＞0，這和f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．
ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=2x²e^2x≥0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．
ⅲ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，令f′（x）=0，解得x₁=-

2-a

a

，x₂=

2-a

a

．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）和f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞， 2-a a ），	- 2-a a	（- 2-a a ， 2-a a ）	2-a a	（ 2-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）在（-∞，

2-a

a

），（

2-a

a

，+∞）為增函數(shù)，f（x）在（-

2-a

a

，

2-a

a

）為減函數(shù)；

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，討論ax²+

a-2

a

的符號(hào)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查綜合分析與運(yùn)算的能力，屬于難題．