Question

某學(xué)生對(duì)函數(shù)f（x）=2xcosx進(jìn)行研究后，得出如下四個(gè)結(jié)論：
（1）函數(shù)f（x）在[-π，0]上單調(diào)遞增，在[0，π]上單調(diào)遞減；
（2）存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立；
（3）點(diǎn)(

π

2

，0)是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
（4）函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱．
其中正確的

 

．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的增減性的關(guān)系可判斷（1）不對(duì)；
根據(jù)y=cosx是有界函數(shù)可得（2）對(duì)；
根據(jù)函數(shù)基本性質(zhì)--對(duì)稱性的應(yīng)用可判斷（3）（4）不對(duì)．

解答：解：∵f（x）=2xcosx是一個(gè)奇函數(shù)，在對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，故不對(duì)，排除（1）
因?yàn)閨cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故（2）對(duì)，
因?yàn)閒（

π

2

+x）+f（

π

2

-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，所以點(diǎn)(

π

2

，0)不是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，
故（3）不對(duì)．
因?yàn)閒（π+x）=2（π+x）cosx，f（π-x）=2（π-x）cosx，∴f（π+x）≠f（π-x），∴函數(shù)y=f（x）圖象不關(guān)于直線x=π對(duì)稱
故（4）不對(duì)
故答案為：（2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系以及函數(shù)的基本性質(zhì)--對(duì)稱性的應(yīng)用．屬中檔題．