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1.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,且PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,∠BAD=60°.
(Ⅰ)證明:平面PBD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求平面APD與平面PBC所成二面角(銳角)的余弦值.

分析 (Ⅰ)推導出AC⊥BD,PA⊥BD,由此能證明平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)設(shè)AC∩BD=O,以O(shè)為原點,OA為x軸,OB為y軸,過O作平面ABCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,由此能求出平面APD與平面PBC所成二面角(銳角)的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)∵四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,
且PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,∠BAD=60°,
∴AC⊥BD,PA⊥BD,
∵PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC,
∵BD?平面PBD,
∴平面PBD⊥平面PAC.
解:(Ⅱ)設(shè)AC∩BD=O,以O(shè)為原點,OA為x軸,OB為y軸,過O作平面ABCD的垂線為z軸,
建立空間直角坐標系,
A(3,0,0),P(3,0,2),D(0,-1,0),B(0,1,0),C(-3,0,0),
AP=(0,0,2),AD=(-3,-1,0),BP=(3,-1,2),BC=(-3,-1,0),
設(shè)平面APD的法向量n=(x,y,z),
{nAP=2z=0nAD=3xy=0,取x=1,得n=13,0),
設(shè)平面PBC的法向量m=(a,b,c),
{mBP=3ab+2c=0mBC=3ab=0,取a=1,得m=(1,-3,-3),
cos<nm>=nm|n||m|=447=277
∴平面APD與平面PBC所成二面角(銳角)的余弦值為277

點評 本題考查面面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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參考數(shù)據(jù):
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