1.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,且PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,∠BAD=60°.
(Ⅰ)證明:平面PBD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求平面APD與平面PBC所成二面角(銳角)的余弦值.

分析 (Ⅰ)推導出AC⊥BD,PA⊥BD,由此能證明平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)設(shè)AC∩BD=O,以O(shè)為原點,OA為x軸,OB為y軸,過O作平面ABCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,由此能求出平面APD與平面PBC所成二面角(銳角)的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)∵四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,
且PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,∠BAD=60°,
∴AC⊥BD,PA⊥BD,
∵PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC,
∵BD?平面PBD,
∴平面PBD⊥平面PAC.
解:(Ⅱ)設(shè)AC∩BD=O,以O(shè)為原點,OA為x軸,OB為y軸,過O作平面ABCD的垂線為z軸,
建立空間直角坐標系,
A($\sqrt{3}$,0,0),P($\sqrt{3}$,0,2),D(0,-1,0),B(0,1,0),C(-$\sqrt{3}$,0,0),
$\overrightarrow{AP}$=(0,0,2),$\overrightarrow{AD}$=(-$\sqrt{3}$,-1,0),$\overrightarrow{BP}$=($\sqrt{3}$,-1,2),$\overrightarrow{BC}$=(-$\sqrt{3}$,-1,0),
設(shè)平面APD的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}=(1,-\sqrt{3}$,0),
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=\sqrt{3}a-b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}a-b=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,-$\sqrt{3}$,-$\sqrt{3}$),
cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.
∴平面APD與平面PBC所成二面角(銳角)的余弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.

點評 本題考查面面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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