Question

如圖所示，已知橢圓的方程為 ，A為橢圓的左頂點(diǎn)，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝45°，則橢圓的離心率等于（   ）

A．            B．             C．             D．

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】

試題分析：由圖形知|BC|=a，且BC∥OA由橢圓的對稱性知，B，C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，由此可以求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再連接OC，有∠OAB=45°及平行的性質(zhì)，橢圓的對稱性，令橢圓的右端點(diǎn)為M，則有∠COM=∠CMO=∠OAB=45°由此可得CO垂直于MC，故有 

又四邊形OABC為平行四邊形，B，C在橢圓上，由圖形知|BC|=a，且BC∥OA由橢圓的對稱性知，B，C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故C的橫坐標(biāo)為 ，代入橢圓方程中，則有,那么代入上式可知a²=3b²，故可得c²=2b²，所以橢圓的離心率等于，選C

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的對稱性得出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及圖形中的垂直關(guān)系，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)是為了表示出斜率，求出垂直關(guān)系是為了利用斜率的乘積為-1建立方程，然后再根據(jù)求離心率的公式求出離心率即可．本題比較抽象，方法單一，入手較難，運(yùn)算量不大