Question

已知函數(shù)f（x）=x²sinx，各項(xiàng)均不相等的有限項(xiàng)數(shù)列{x_n}的各項(xiàng)x_i滿足|x_i|．令F（n）=

n

i=1

xi•

n

i1

f（x_i），n≥3且n∈N，例如：F（3）=（x₁+x₂+x₃）（f（x₁）+f（x₂）+f（x₃））．
（Ⅰ）若an=f（

n

2

π），{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，求S₁₉的值；
（Ⅱ）試判斷下列給出的三個(gè)命題的真假，并說明理由．
①存在數(shù)列{xn}使得F（n）=0；
②如果數(shù)列{x_n}是等差數(shù)列，則F（n）＞0；
③如果數(shù)列{xn}是等比數(shù)列，則F（n）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由a_n=f（

n

2

π）=（

n

2

π）²sin（

n

2

π），利用分組求和吧，可得a_4k-3+a_4k-2+a_4k-1+a_4k=（2-4k）π²，（k∈N₊），再由S₁₉=S₂₀得到答案．
（II）由題意，f（x）=x²sinx是奇函數(shù)，只需考查0＜x≤1時(shí)的性質(zhì)，此時(shí)y=x²，y=sinx都是增函數(shù)，得f（x）=x²sinx在[0，1]上是增函數(shù)；即f（x）=x²sinx在[-1，1]上是增函數(shù)．
x₁+x₂＜0時(shí)，得f（x₁）+f（x₂）＜0，x₁+x₂＞0時(shí)，得f（x₁）+f（x₂）＞0；即x₁+x₂≠0時(shí)，（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂））＞0；
判定①是正確的，如{x_n}滿足x₁+x₂+…+x_n=0時(shí)；
②是錯(cuò)誤的，如x₁+x₂+…+x_n=0時(shí)，F(xiàn)（n）=0；
③是正確的，如數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列，各項(xiàng)符號一致的情況顯然符合；各項(xiàng)符號不一致時(shí)，公比q＜0，討論n是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，都有F（n）＞0．

解答： 解：（I）∵a_n=f（

n

2

π）=（

n

2

π）²sin（

n

2

π），
∴a_4k-3+a_4k-2+a_4k-1+a_4k=（2-4k）π²，（k∈N₊），
∴S₁₉=S₂₀=-（2+6+10+14+18）π²=-50π²，
（II）由題意，得f（x）=x²sinx是奇函數(shù)，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，y=x²，y=sinx都是增函數(shù)，
∴f（x）=x²sinx在[0，1]上遞增，
∴f（x）=x²sinx在[-1，1]上是增函數(shù)；
若x₁+x₂＜0，則x₁＜-x₂，
∴f（x₁）＜f（-x₂），
即f（x₁）＜-f（x₂），
∴f（x₁）+f（x₂）＜0；
同理若x₁+x₂＞0，可得f（x₁）+f（x₂）＞0；
∴x₁+x₂≠0時(shí)，（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂））＞0．
對于①，顯然是正確的，如{x_n}滿足x₁+x₂+…+x_n=0時(shí)；
對于②，顯然是錯(cuò)誤的，如x₁+x₂+…+x_n=0，F(xiàn)（n）=0時(shí)；
對于③，是正確的，當(dāng)數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列，且各項(xiàng)符號一致的情況時(shí)顯然符合題意；
若各項(xiàng)符號不一致，則公比q＜0，
若n是偶數(shù)，（x_2i-1+x_2i）=x₁q^2i-2（1+q），i=1，2，…，

n

2

符號一致，
又（x_2i-1+x_2i），[f（x_2i-1）+f（x_2i）]符號一致，
∴符合F（n）＞0；
若n是奇數(shù)，可證明“（x_2i-1+x_2i）=x₁q^2i-2（1+q），i=1，2，…，

n-1

2

和xn=x1qn-1符號一致”，
或者“（x_2i-1+x_2i）=x₁q^2i-2（1+q），i=1，2，…，

n-1

2

和x₁符號一致”，
同理可證符合F（n）＞0；
綜上，正確的命題是①③．

點(diǎn)評：本題通過命題真假的判定，考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用問題，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性問題，等差與等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是綜合題．