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3.一個透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個公共底面的圓錐如圖,且這兩個圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上,如圖,已知圓錐底面面積是這個球面面積的316,則較大圓錐與較小圓錐的體積之比為3:1.

分析 設(shè)球的半徑為R,圓錐底面半徑為r,求出球的面積,然后求出圓錐的底面積,求出圓錐的底面半徑,運用球的截面性質(zhì),可得球心到截面的距離,進而得到圓錐的高,求出體積較小者的高與體積較大者的高的比值,即可得到所求體積之比.

解答 解:不妨設(shè)則球的表面積為4πR2
由圓錐底面面積是這個球面面積的316,
可得圓錐的底面積為\frac{3π{R}^{2}}{4}
則圓錐的底面半徑為r=\frac{\sqrt{3}}{2}R,
由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離,
球的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個直角三角形,
由此可以求得球心到圓錐底面的距離是\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}=\sqrt{{R}^{2}-\frac{3{R}^{2}}{4}}=\frac{1}{2}R,
則圓錐體積較小者的高為:R-\frac{1}{2}R=\frac{1}{2}R;
可得圓錐體積較大者的高為:R+\frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R.
又由這兩個圓錐的底面相同,
則較大圓錐與較小圓錐的體積之比等于它們高之比,即3:1.
故答案為:3:1.

點評 本題考查球的表面積和圓錐的體積公式的運用,其中熟練掌握球的表面積公式和體積之比為高之比,是解答的關(guān)鍵.

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