分析 (Ⅰ)根據(jù)定點A(0,2)、B(0,-2),直線MA與直線MB的斜率之積為-4,建立方程,化簡可得曲線C的方程;
(Ⅱ)設出PQ方程:y=kx+m,代入橢圓4x2+y2=4,得到關于x的一元二次方程,借助于根與系數(shù)的關系結合OP⊥OQ得到m21+k2=45.求出原點O到直線l的距離,利用基本不等式求得|OP|•|OQ|的最小值得答案.
解答 解:(I)設M(x,y),
又A(0,2),點B(0,-2),
∴kMA•kMB=y−2x•y+2x=−4,
即x2+y24=1(x≠0),
∴曲線C的方程為x2+y24=1(x≠0);
(Ⅱ)設PQ方程:y=kx+m,代入橢圓4x2+y2=4,
整理得:(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0.
△=4k2m2-4(k2+4)(m2-4)=16(k2-m2+4).
x1+x2=−2kmk2+4,x1x2=m2−4k2+4.
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
∴x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)•m2−4k2+4+km•−2kmk2+4+m2=0.
化簡得:5m2=4(1+k2),即m21+k2=45.
點O到直線PQ的距離d=|m|√1+k2=2√55.
則1|OP|2+1|OQ|2=|OP|2+|OQ|2|OP|2|OQ|2=|PQ|2|PQ|2wa6yk4o2=1quqsesw2=54,
由1|OP|2+1|OQ|2≥2|OP|•|OQ|,得:|OP|•|OQ|≥21|OP|2+1|OQ|2.
∴|OP|2+|OQ|2≥2|OP|•|OQ|≥221|OP|2+1|OQ|2=165.
∴S△OPQ=12|OP|•|OQ|≥45.
故答案為:x2+y24=1(x≠0),45.
點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關系,體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法和設而不求的解題思想方法,涉及直線和圓錐曲線關系問題,常借助于一元二次方程的根與系數(shù)關系解題.是難度較大的題目.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | [-12,+∞) | B. | [-32,+∞) | C. | [-1,+∞) | D. | [-2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
年份2007+x(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人口數(shù)y(十萬) | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | a<1e | B. | a>1e | C. | a>12 | D. | a<12 |
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