Processing math: 100%
17.已知點A(0,2),點B(0,-2),直線MA、MB的斜率之積為-4,記點M的軌跡為C
(I)曲線C的方程為x2+y24=1x0
(II)設QP,為曲線C上的兩點,滿足OP⊥OQ(O為原點),則△OPQ面積的最小值是45

分析 (Ⅰ)根據(jù)定點A(0,2)、B(0,-2),直線MA與直線MB的斜率之積為-4,建立方程,化簡可得曲線C的方程;
(Ⅱ)設出PQ方程:y=kx+m,代入橢圓4x2+y2=4,得到關于x的一元二次方程,借助于根與系數(shù)的關系結合OP⊥OQ得到m21+k2=45.求出原點O到直線l的距離,利用基本不等式求得|OP|•|OQ|的最小值得答案.

解答 解:(I)設M(x,y),
又A(0,2),點B(0,-2),
kMAkMB=y2xy+2x=4,
x2+y24=1x0
∴曲線C的方程為x2+y24=1x0;
(Ⅱ)設PQ方程:y=kx+m,代入橢圓4x2+y2=4,
整理得:(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0.
△=4k2m2-4(k2+4)(m2-4)=16(k2-m2+4).
x1+x2=2kmk2+4x1x2=m24k2+4
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+kmx1+x2+m2
x1x2+k2x1x2+kmx1+x2+m2=1+k2m24k2+4+km2kmk2+4+m2=0.
化簡得:5m2=4(1+k2),即m21+k2=45
點O到直線PQ的距離d=|m|1+k2=255
1|OP|2+1|OQ|2=|OP|2+|OQ|2|OP|2|OQ|2=|PQ|2|PQ|2wa6yk4o2=1quqsesw2=54,
1|OP|2+1|OQ|22|OP||OQ|,得:|OP|•|OQ|≥21|OP|2+1|OQ|2
∴|OP|2+|OQ|2≥2|OP|•|OQ|≥221|OP|2+1|OQ|2=165
∴S△OPQ=12|OP|•|OQ|≥45
故答案為:x2+y24=1x0,45

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關系,體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法和設而不求的解題思想方法,涉及直線和圓錐曲線關系問題,常借助于一元二次方程的根與系數(shù)關系解題.是難度較大的題目.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.用反證法證明2,3,5不可能是一個等差數(shù)列中的三項.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

8.函數(shù)y=16x+lg(x-5)0的定義域是{x|x<5或5<x<6}.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

5.已知集合A={(x,y)|x-y=0},B={(x,y)|x+y=0},求A∩B.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

12.設函數(shù)f(x)在R上存在導函數(shù)f′(x),對于任意的實數(shù)x,都有f(x)=4x2-f(-x),當x∈(-∞,0)時,f′(x)+12<4x,若f(m+1)≤f(-m)+4m+2,則實數(shù)m的取值范圍是( �。�
A.[-12,+∞)B.[-32,+∞)C.[-1,+∞)D.[-2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

2.已知直線l:y=3x和點P(8,3),點Q為第一象限內的點,且在直線l上,直線PQ交x軸正半軸于點M,求△OMQ的面積S的最小值.(O為坐標原點).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

9.某城市理論預測2007年到2011年人口總數(shù)與年份的關系如表所示
年份2007+x(年)01234
人口數(shù)y(十萬)5781119
(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求最小二乘法求出Y關于x的線性回歸方程;
(2)據(jù)此估計2016年該城市人口總數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

6.已知直線xa+y=2經過點P(cosa,sina),(a∈R),則1a2+12的最小值等于4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

1.設a∈R,若函數(shù)y=ex-2ax,x∈R有大于0的極值點,則( �。�
A.a<1eB.a>1eC.a>12D.a<12

查看答案和解析>>

同步練習冊答案