Question

已知數(shù)列的前n項的和為，且，

（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列

（2）求通項與前n項的和；

（3）設(shè)若集合M=恰有4個元素，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2），；（3）.

【解析】

試題分析：（1）可以根據(jù)等比數(shù)列的定義證明，用后項比前項，即證是常數(shù)，這由已知易得，同時要說明；（2）由（1）是公比為的等比數(shù)列，因此它的通項公式可很快求得，即，從而，這個數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得，因此其前項和可用錯位相減法求出；（3）這里我們首先要求出，由（2）可得，集合M=恰有4個元素，即中只有4個不同的值不小于，故要研究數(shù)列中元素的大小，可從單調(diào)性考慮，作差，可見，，再計算后發(fā)現(xiàn)，因此應(yīng)該滿足．

試題解析：（1）因為，當時，.

又，（）為常數(shù)，

所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.

（2）由是以為首項，為公比的等比數(shù)列得，

所以.

由錯項相減得.

（3）因為，所以

由于

所以，，.

因為集合恰有4個元素，且，

所以.

考點：（1）等比數(shù)列的定義；（2）錯位相減法求和；（3）數(shù)列的單調(diào)性．