Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（3）如何由函數(shù)y=

2

sinx的圖象通過適當?shù)淖儞Q得到函數(shù)f（x）的圖象，寫出變換過程．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）展開，利用二倍角公式與兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，直接利用周期公式求出函數(shù)最小正周期；
（2）利用正弦函數(shù)的最值，直接求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（3）由左加右減上加下減的原則，先平移后伸縮，或者先伸縮后平移即可由函數(shù)y=

2

sinx的圖象通過適當?shù)淖儞Q得到函數(shù)f（x）的圖象．

解答：（本小題滿分14分） 
解：（1）f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x
=1+2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-cos2x…（3分）
=

2

(

2

2

sin2x-

2

2

cos2x)
=

2

sin(2x-

π

4

)．…（5分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．  …（6分）
（2）當2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，(k∈Z)，即x=kπ+

3π

8

，(k∈Z)時，
有f大(x)=

2

，此時的x集合為{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z }…（10分）
（3）y=

2

sinx縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的

1

2

倍得到y=

2

sin2x
函數(shù)的圖象向右平移

π

8

個單位得到y=

2

sin(2x-

π

4

)…（14分）
或y=

2

sinx函數(shù)的圖象向右平移

π

4

個單位得到y=

2

sin(x-

π

4

)
橫坐標縮小為原來的

1

2

倍得到y=

2

sin(2x-

π

4

)…（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式與兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象的變換，考查計算能力．