Question

11．設$f（x）={2^x}-{log_{\frac{1}{2}}}$x，滿足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若函數(shù)f（x）存在零點x₀，則（　�。�

• A． x₀＜a
• B． x₀＞a
• C． x₀＜c
• D． x₀＞c

Answer 1

分析 確定函數(shù)為增函數(shù)，進而可得f（a）、f（b）、f（c）中一項為負的、兩項為正的；或者三項都是負的，分類討論，結(jié)合函數(shù)的零點存在定理，從而得到答案．

解答 解：∵y=2^x在（0，+∞）上是增函數(shù)，y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x在（0，+∞）上是減函數(shù)，
可得$f（x）={2^x}-{log_{\frac{1}{2}}}$x在（0，+∞）上是增函數(shù)，
由0＜a＜b＜c，且 f（a）f（b）f（c）＜0，
∴f（a）、f（b）、f（c）中一項為負的、兩項為正的；或者三項都是負的．
即f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0．
由于實數(shù)x₀是函數(shù)y=f（x）的一個零點，
當f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）時，a＜x₀＜b，此時B成立．
當f（a）＜f（b）＜f（c）＜0時，x₀＞c＞a．
綜上可得，B成立．
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點的定義，判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間的方法，注意運用零點存在定理，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．