已知關(guān)于x的方程sin2x+a（sinx+cosx）+2=0有實數(shù)根，求a的取值范圍．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：三角函數(shù)的求值
分析：首先，將原式化簡為：1+sin2x+a（sinx+cosx）+1=0，然后，換元：設(shè)t=sinx+cosx，然后，將問題轉(zhuǎn)化成：方程t2+at+1=0在區(qū)間[-
2
，
2
]上有實根，從而得到解決．
解答： 解：根據(jù)題意，得
1+sin2x+a（sinx+cosx）+1=0，
設(shè)t=sinx+cosx，
則t=
2
sin（x+
π
4
），t∈[-
2
，
2
]，
∴t2+at+1=0，
∵t=sinx+cosx=
2
sin（x+
π
4
），
∴x的方程sin2x+a（sinx+cosx）+2=0有實數(shù)根，
等價于方程t2+at+1=0在區(qū)間[-
2
，
2
]上有實根，
設(shè)函數(shù)f（x）=t2+at+1，
①當(dāng)方程t2+at+1=0在區(qū)間[-
2
，
2
]上有一個實根時，
即f（-
2
）•f（
2
）≤0，
∴a≤-
3
2
2
或a≥
3
2
2
，
②當(dāng)方程t2+at+1=0在區(qū)間[-
2
，
2
]上有2個實根時，
△＞0
-
2
＜-
a
2
＜
2
f(-
2
)＞0
f(
2
)＞0
，
∴a∈（-
3
2
2
，-2）∪（2，
3
2
2
）．
∴a的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．
點評：本題重點考查了三角公式、二次方程等知識，屬于中檔題，考查分類討論思想的靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓方程
x2
4
+y2=1，不過原點的直線l與橢圓交于P、Q兩點，且直線OP、PQ、OQ的斜率成等比數(shù)列，求S△OPQ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+bx+4（b∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[1，3]有且只有一個零點，求b的取值范圍；
（2）對任意x1，x2∈[-1，1]，f（x1）-f（x2）≤4恒成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（n）=
1，n=0
n•f(n-1)，n∈N*
，則f（3）的值是（　　）
A、6B、24C、120D、720

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題“若兩三角形全等則它們相似”的逆否命題為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=x2+2x，若f（2-a2）＞f（a），則實數(shù)α的取值范圍
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+alnx
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
OA
=（3，-1），
OB
=（0，2），若
OC
•
AB
=0，
AC
=λ
OB
，則實數(shù)λ的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（cos
x
2
，-1），
n
=（
3
sin
x
2
，cos2
x
2
)，設(shè)函數(shù)f（x）=
m
•
n

（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的零點；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，且滿足b2=ac，求f（B）的取值范圍．

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