Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

2

2

，且橢圓過點（1，1），過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓上一點M滿足MA=MB．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求

1

OA2

+

1

OB2

+

2

OM2

的值；
（3）是否存在定圓，使得直線l繞原點轉(zhuǎn)動時，AM恒與該定圓相切，若存在，求出圓的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

2

2

，且橢圓過點（1，1），求出幾何量，即可得出橢圓的方程；
（2）根據(jù)條件|MA|=|MB|，可知M在線段AB的垂直平分線上，同時A，B關(guān)于原點對稱．
若A，B在橢圓的短軸頂點上，則點M在橢圓的長軸頂點上．容易得出時

1

OA2

+

1

OB2

+

2

OM2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2．
若A，B，M不是橢圓的頂點，不妨設(shè)A（x₁，kx₁），M（x₂，-

1

k

x₂），代入橢圓方程可得x12=

3

1+2k2

，同樣得出結(jié)論．
（3）根據(jù)對稱性，如果圓存在，則圓心在坐標(biāo)原點，根據(jù)（2）當(dāng)A，B，M不在橢圓的頂點上時，不妨設(shè)設(shè)A（x₁，kx₁），M（x₂，-

1

k

x₂），則直線AM的方程為y-kx₁=

kx1+ 1 k x2

x1-x2

（x-x₁），利用點到直線的距離公式證明原點到直線l的距離為定值即可．

解答： 解：（1）∵

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

2

2

，且橢圓過點（1，1），
∴

a2-b2 a = 2 2 1 a2 + 1 b2 =1

，解得a2=3，b2=

3

2

．
故橢圓方程為

x2

3

+

2y2

3

=1．
（2）根據(jù)條件|MA|=|MB|，可知M在線段AB的垂直平分線上，同時A，B關(guān)于原點對稱．
若A，B在橢圓的短軸頂點上，則點M在橢圓的長軸頂點上．
這時

1

OA2

+

1

OB2

+

2

OM2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2．
若A，B，M不是橢圓的頂點，
不妨設(shè)A（x₁，kx₁），M（x₂，-

1

k

x₂），
代入橢圓方程得

x12

3

+

2

3

(kx1)2=1，∴x12=

3

1+2k2

，
∴OA²=OB²=

3(1+k2)

1+2k2

．
同時可得|OM|²=

3(1+k2)

k2+2

，
∴

1

OA2

+

1

OB2

+

2

OM2

=

2(1+2k2)

3(1+k2)

+

2(k2+2)

3(1+k2)

=2
綜上可知：不論A，B位置如何，總有

1

OA2

+

1

OB2

+

2

OM2

═2．
（3）根據(jù)對稱性，如果圓存在，則圓心在坐標(biāo)原點，
根據(jù)（2）當(dāng)A，B，M不在橢圓的頂點上時，不妨設(shè)A（x₁，kx₁），M（x₂，-

1

k

x₂），
則直線AM的方程為y-kx₁=

kx1+ 1 k x2

x1-x2

（x-x₁），
原點O到直線AM的距離為d=

|(k+ 1 k )x1x2|

(kx1+ 1 k x2)2+(x1-x2)2

，
由（2）可得x12=

3

1+2k2

，x22=

3k2

k2+2

，代入上式化簡可得d=1．
又A，B，M落在橢圓的頂點上時，可得原點到AM的距離d=

OA•OM

AM

=

ab

a2+b2

=1，
綜上，不論直線l如何轉(zhuǎn)動，原點到直線AM的距離始終為1，
∴存在定圓x²+y²=1，使得直線l繞原點轉(zhuǎn)動時，AM恒與該圓相切．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得出其交點坐標(biāo)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、點到直線的距離公式、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．