Question

函數f（x）滿足lnx=

1+f(x)

1-f(x)

，且x₁，x₂均大于e，f（x₁）+f（x₂）=1，則f（x₁x₂）的最小值為

5

7

．

Answer 1

分析：先通過解方程得函數f（x）的解析式，由f（x₁）+f（x₂）=1，代入解析式并化簡后得lnx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3，利用均值定理即可求得ln（x₁•x₂）的取值范圍，最后將x₁•x₂代入解析式得f（x₁x₂），利用函數單調性即可得其范圍

解答：解：∵lnx=

1+f(x)

1-f(x)

，∴l(xiāng)nx-lnx•f（x）-1-f（x）=0∴f（x）=

lnx-1

lnx+1

∵f（x₁）+f（x₂）=1，
∴

lnx 1-1

lnx 1+1

+

lnx 2-1

lnx 2+1

=

(lnx 1-1)(lnx2+1)+(lnx1+1)(lnx2-1)

(lnx 1+1)(ln x2+1)

=

2lnx1lnx2-2

(lnx1+1)(ln x2+1)

=1
∴l(xiāng)nx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3
∵x₁，x₂均大于e
∴l(xiāng)nx₁，lnx₂均大于1
∴l(xiāng)nx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3≤(

lnx1+ lnx2

2

)2=

ln2(x1•x2)

4

∴l(xiāng)n²（x₁•x₂）-4ln（x₁•x₂）-12≥0
∴l(xiāng)n（x₁•x₂）≤-2（舍去）或ln（x₁•x₂）≥6
∴l(xiāng)n（x₁•x₂）≥6
∵f（x₁x₂）=

ln(x1•x2)-1

ln(x1•x2)+1

=1-

2

ln(x1•x2)+1

≥1-

2

6+1

=

5

7

 
（當且僅當

lnx1=lnx2 ln(x1•x2)=6

即x₁=x₂=e³時取等號）
故答案為

5

7

點評：本題考查了求函數解析式的方法，對數運算及對數變換技巧，利用均值定理及函數性質求最值的方法