Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂．y₂）是拋物線C：y²=2px（p＞0）上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，若當(dāng)線段AB的中點(diǎn)在直線x=2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AB的垂直平分線l經(jīng)過定點(diǎn)N（4，0）求C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（2，m），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及直線的斜率公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，分別求出直線AB和MN的斜率，解方程即可求得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程．

解答： 解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（2，m），
則y₁+y₂=2m，即m=

y1+y2

2

，
由拋物線方程可得x₁=

y12

2p

，x₂=

y22

2p

，
則MN的斜率為k_MN=

y1+y2 2 -0

2-4

=

y1+y2

-4

，
直線AB的斜率為k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

，
由于MN⊥AB，則k_MN•k_AB=-1，
即有

y1+y2

-4

•

2p

y1+y2

=-1，解得p=2．
則拋物線C的方程為y²=4x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查直線的斜率公式的運(yùn)用，以及兩直線垂直的條件，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．