Question

某高校在2012年自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組[75，80)，第2組[80，85)，第3組[85，90)，第4組[90，95)，第5組[95，100]得到的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)分別求第3，4，5組的頻率；

(2)若該校決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，

(ⅰ)已知學生甲和學生乙的成績均在第三組，求學生甲和學生乙恰有一人進入第二輪面試的概率；

(ⅱ)學校決定在這已抽取到的6名學生中隨機抽取2名學生接受考官L的面試，設(shè)第4組中有名學生被考官L面試，求的分布列和數(shù)學期望．

 

Answer 1

(1)0.3 0.2 0.1 (2) (ⅰ) (ⅱ)

【解析】

試題分析：(1)由頻率分布直方圖的橫坐標得到組距,縱坐標得到每組的頻率/組距,故而每組的頻率即為縱坐標與組距的乘積.

(2)分層抽樣就是在保持每個個體入樣的可能性相等的條件下把樣本容量分攤到每一層,即樣本容量與總體數(shù)量之比與某層抽樣個數(shù)與該層總數(shù)之比相等,進而得到每層抽樣的人數(shù)

(i)第三組要抽樣3人,在30人中抽樣三人,無序即為組合數(shù),即中抽樣情況,根據(jù)題目要求“學生甲和學生乙恰有一人進入第二輪面試”的事件分為兩種情況①甲乙中只有甲入選,即還需要在28人中無序抽樣2人,即,②甲乙中只有乙入選,即還需要在28人中無序抽樣2人,即.在利用古典概型概率計算公式即可得到相應的概率

(ii)由分層抽樣的結(jié)果可知6人中有兩人是第四組的,即,再利用組合數(shù)算得從6人中無序抽樣兩人的情況數(shù)和分別有0，1，2人是第四組的情況數(shù)，即可得到相應的概率，進而得到分布列，在把三種情況的概率與其分別相乘再相加即可得到期望.

試題解析：(1) 第三組的頻率為0．065=0．3； 第四組的頻率為0．045=0．2；第五組的頻率為0．025=0．1． 3分

(2)(ⅰ)設(shè)“學生甲和學生乙恰有一人進入第二輪面試”為事件A,第三組應有3人進入面試則: P(A)= = 6分

(ⅱ)第四組應有2人進入面試，則隨機變量可能的取值為0,1,2． 7分

且，則隨機變量的分布列為:

	0	1	2
P

12分

考點：分布列 期望 排列組合 頻率分布直方圖