Question

已知函數(shù)y（x）=cosx•sinx（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈[-

π

4

，

π

4

)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化成正弦型函數(shù)f（x）=

1

2

sin(2x-

π

3

)，進一步利用整體思想求出單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，進一步利用定義域求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=cosxsin(x+

π

3

)-

3

cos2x+

3

4

=cosx[

1

2

sinx+

3

2

cosx]-

3

cos²x+

3

4

=

1

2

sinxcosx+

3

2

cos2x-

3

cos2x+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

cos2x+1

2

+

3

4

=

1

2

sin(2x-

π

3

)
則：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

  （k∈Z）
解得：-

π

12

+kπ≤x≤kπ+

5π

12

（ k∈Z）
單調(diào)增區(qū)間為：x∈[-

π

12

+kπ，kπ+

5π

12

]（ k∈Z）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=

1

2

sin(2x-

π

3

)
x∈[-

π

4

，

π

4

]
所以：-

5π

6

≤2x-

π

3

≤

π

6

-

1

2

≤

1

2

sin(2x-

π

3

)≤

1

4

即：-

1

2

≤f(x)≤

1

4

f（x）∈[-

1

2

，

1

4

]
故答案為：（Ⅰ）x∈[-

π

12

+kπ，kπ+

5π

12

]（ k∈Z）
（Ⅱ）f（x）∈[-

1

2

，

1

4

]

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)定義域求正弦型三角函數(shù)的值域．