分析 2a4+a3-2a2-a1=8,公比q>0,a1>0.可得:a1=8(2q+1)(q2−1)>0,可得q>1.則2a5+a4=a1q3(2q+1)=8q3q2−1=81q−1q3,設(shè)1q=x∈(0,1),則y=x-x3,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.
解答 解:∵2a4+a3-2a2-a1=8,公比q>0,a1>0.
∴a1(2q3+q2-2q-1)=8,
∴a1=8(2q+1)(q2−1)>0,可得q>1.
則2a5+a4=a1q3(2q+1)=8q3q2−1=81q−1q3,
設(shè)1q=x∈(0,1),則y=x-x3,
由y′=1-3x2=−3(x+√33)(x−√33)0,解得x=√33.
可得x=√33時(shí),y取得最大值,ymax=2√39.
∴2a5+a4的最大值為82√39=12√3.
故答案為:12√3.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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