Question

4．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A、B、C，若|AF|=2，$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{BF}$，則拋物線的方程為（　�。�

• A． y²=x
• B． y²=2x
• C． y²=4x
• D． y²=8x

Answer 1

分析 分別過A、B作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線定義將A、B到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用△BCD∽△FCG即可得p值，進(jìn)而可得方程．

解答 解：分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D
由$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{BF}$，可知：丨$\overrightarrow{CB}$丨=2丨$\overrightarrow{BF}$丨，設(shè)|BF|=a，則|BC|=2a，|BD|=a，
∴∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，
∵|AF|=2，|AC|=2+3a，
∴2|AE|=|AC|，
∴2+3a=4，即a=$\frac{2}{3}$，
|CF|=2，
∴sin∠BCD=$\frac{丨GF丨}{丨CF丨}$=$\frac{p}{2}$，解得p=1，
∴拋物線方程為y²=2x．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義及其應(yīng)用，拋物線的幾何性質(zhì)，過焦點(diǎn)的弦的弦長關(guān)系，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬中檔題．