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4.若正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是D1C1、AB的中點(diǎn),則A1B1與截面A1ECF所成的角的正切值為2

分析 證明直線EF垂直平面A1B1C內(nèi)的兩條相交直線A1C、B1C,可得EF⊥平面A1B1C,從而B1在平面A1ECF上的射影在線段A1C上,則∠B1A1C就是A1B1與平面A1ECF所成的角.然后解三角形,求A1B1與平面A1ECF所成角的正切值,即可得出結(jié)論.

解答 解:連接C1B,
∵E、F分別為C1D1與AB的中點(diǎn),
∴A1F=CE.
又A1F∥CE,
∴A1FCB為平行四邊形,
∴C1B∥EF.
而C1B⊥B1C,
∴EF⊥B1C.
又四邊形A1ECF是菱形,∴EF⊥A1C.∴EF⊥面A1B1C.
又EF?平面A1ECF,
∴平面A1B1C⊥平面A1ECF,
∴B1在平面A1ECF上的射影在線段A1C上.
∴∠B1A1C就是A1B1與平面A1ECF所成的角.
∵A1B1⊥B1C,在Rt△A1B1C中,tan∠B1A1C=2
∴A1B1與平面A1ECF所成角為arctan2
故答案為:2

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角,考查學(xué)生空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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空氣污染指數(shù)
(單位:μg/m3
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監(jiān)測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)1540y15
(Ⅰ)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出x,y的值,并完成頻率分布直方圖;
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