Question

已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋(0)－e^－x＝－1，函數(shù)g(x)＝－λlnf(x)＋sinx是區(qū)間[－1，1]上的減函數(shù)．

(1)當(dāng)x≥0時(shí)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)M(t，f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t)，求S(t)的最大值；

(2)若g(x)＜t²＋λt＋1在x∈[－1，1]時(shí)恒成立，求t的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)h(x)＝－lnf(x)－ln(x＋m)，常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h(x)在區(qū)間[e^－m－m，e^2m－m]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并作出證明．

Answer 1

答案：
解析：

�、僖�?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0105/0021/b41993c28959c0df44a2df1a0aba2861/C/Image90.gif" width=205 HEIGHT=24>，切線的斜率為切點(diǎn) 　　故切線的方程為即，1分 　　令得，又令得 　　所以 　　從而 　　∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 　　所以的最大值為 　　②由①知：， 　　上單調(diào)遞減， 　　即在[－1，1]上恒成立， 　　要使時(shí)恒成立 　　因 　　(其中)恒成立， 　　令， 　　則恒成立， 　　 　　③函數(shù)連續(xù)，且 　　 　　當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)， 　　當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)， 　　根據(jù)函數(shù)極值判別方法，為極小值，而且 　　對(duì)都有 　　故當(dāng)整數(shù)時(shí)， 　　所以當(dāng)整數(shù)時(shí)，， 　　函數(shù)在上為連續(xù)減函數(shù)． 　　 　　由所給定理知，存在唯一的 　　而當(dāng)整數(shù)時(shí)， 　　 　　類似地，當(dāng)整數(shù)時(shí)，函數(shù)在上為連續(xù)增函數(shù)且與異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的故當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．15分