Question

19．若函數(shù)f（x）=-$\frac{a}$lnx-$\frac{a+1}$（a＞0，b＞0）的圖象在x=1處的切線與圓x²+y²=1相切，則a+b的最大值是（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，求出切線方程，利用切線與圓x²+y²=1相切，可得a²+b²=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．

解答 解：f（x）=-$\frac{a}$lnx-$\frac{a+1}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-$\frac{a}$•$\frac{1}{x}$，
令x=1，可得切線的斜率為f′（1）=-$\frac{a}$，又f（1）=-$\frac{a+1}$，
則切線方程為y+$\frac{a+1}$=-$\frac{a}$（x-1），即ax+by+1=0，
∵切線與圓x²+y²=1相切，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
∴a²+b²=1，
∵a＞0，b＞0
∴a²+b²≥2ab，
∴2（a²+b²）≥（a+b）²，
∴a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$=$\sqrt{2}$．
∴a+b的最大值是$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查直線與圓相切的條件：d=r，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．