Question

5．設在定義域上的可導函數(shù)f（x）滿足f（e^x）=x-e^x，則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=lnx-x，它的遞增區(qū)間是（0，1）．

Answer 1

分析 設t=e^x，利用換元法進行求解即可求函數(shù)的解析式，求函數(shù)的導數(shù)，由f′（x）＞0即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：設t=e^x，則x=lnt，
則f（e^x）=x-e^x，等價為f（t）=lnt-t，
即f（x）=lnx-x，函數(shù)的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）=$\frac{1}{x}$-1＞0得$\frac{1-x}{x}＞0$，得0＜x＜1，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），
故答案為：lnx-x，（0，1）．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法是解決本題的關鍵．求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)法是解決函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法．