(13分)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=,為等邊三角形,又平面PAD⊥平面ABCD.

(Ⅰ)若在邊BC上存在一點(diǎn)Q,使PQ⊥QD,求的取值范圍;

(Ⅱ)當(dāng)邊BC上存在唯一點(diǎn)Q,使PQ⊥QD時(shí),求二面角A-PD-Q的余弦值.

解:(Ⅰ)取AD中點(diǎn)O,連接PO,則PO⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD………2分

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)Q(t,2,0),

=(t,2,-),=(t,2,0).            
∵PQ⊥QD,∴

,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)t=2.

的取值范圍為. …………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng),=8時(shí),邊BC上存在唯一點(diǎn)Q,使PQ⊥QD.

此時(shí)Q(2,2,0),D(4,0,0), .                               

設(shè)是平面的法向量,=(2,2,),

=(-2,2,0).            
,得.

,則  是平面的一個(gè)法向量.                 

是平面的一個(gè)法向量,                  

設(shè)二面角A-PD-Q為,由

∴二面角A-PD-Q的余弦值為.  ……13分    

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s.5(Ⅰ)若在邊BC上存在一點(diǎn)Q,使PQ⊥QD,求的取值范圍;

(Ⅱ)當(dāng)邊BC上存在唯一點(diǎn)Q,使PQ⊥QD時(shí),求二面角A-PD-Q的余弦值.

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