設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n.
(1)求數(shù)列{an}的首項a1與遞推關系式:an+1=f(an);
(2)先閱讀下面定理:“若數(shù)列{an}有遞推關系an+1=Aan+B,其中A、B為常數(shù),且A≠1,B≠0,則數(shù)列是以A為公比的等比數(shù)列.”請你在第(1)題的基礎上應用本定理,求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn
【答案】分析:(1)令n=1,由S1=2a1-3,知a1=3,再由Sn+1=2an+1-3(n+1),Sn=2an-3n,知an+1=2an+1-2an-3,由此能求出an+1=2an+3.
(2)按照定理:A=2,B=3,{an+3}是公比為2的等比數(shù)列,由此能求出數(shù)列{an}的通項公式.
(3)由an=6•2n-1-3,知Sn=(6-3)+(6×2-3)+(6×3-3)+…+(6×2n-1-3),由此能求出數(shù)列{an}的前n項和Sn
解答:解:(1)令n=1,S1=2a1-3.∴a1=3
又Sn+1=2an+1-3(n+1),Sn=2an-3n,
兩式相減得,an+1=2an+1-2an-3,(3分)
則an+1=2an+3(4分)
(2)按照定理:A=2,B=3,
∴{an+3}是公比為2的等比數(shù)列.
則an+3=(a1+3)•2n-1=6•2n-1,∴an=6•2n-1-3.(8分)
(3)∵an=6•2n-1-3,
∴Sn=(6-3)+(6×2-3)+(6×3-3)+…+(6×2n-1-3),
.(12分)
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用,解題時要注意數(shù)列的通項公式的求法和等比數(shù)列前n項和的應用.
練習冊系列答案
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設數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項的和.

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設數(shù)列an的前n項的和為Sna1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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