Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)分別為，且，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，，證明：函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)一定有極值點(diǎn)；

（3）在（2）的條件下，若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離不小于，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是（－3，1），單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）略（3）

【解析】（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052310362312506396/SYS201205231038109843454691_DA.files/image004.png">，又，，則

，                                                ……………1分

因?yàn)閤1，x2是方程的兩根，

則，，得，，                                    ……………3分

所以

.

令    解得：                                           

故的單調(diào)遞減區(qū)間是（－3，1），單調(diào)遞增區(qū)間是．             ……………5分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052310362312506396/SYS201205231038109843454691_DA.files/image019.png">，，所以，即.

又，，所以，即.                       …………… 7分

于是，，.     …………… 8分

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052310362312506396/SYS201205231038109843454691_DA.files/image031.png">，而在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x=m，則在，>0，單調(diào)遞增，在，<0，單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值點(diǎn)x=m；                            ……………9分

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052310362312506396/SYS201205231038109843454691_DA.files/image039.png">，則在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn).

同理，函數(shù)在區(qū)間(1，2)內(nèi)有極小值點(diǎn).            

綜上得函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)一定有極值點(diǎn)．                                   …………… 10分

（3）設(shè)m，n是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則m，n也是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由（2）得，則，.

所以.

由已知，，則，即.

所以，即或.                               …………… 12分

又，，所以，即.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052310362312506396/SYS201205231038109843454691_DA.files/image023.png">，所以. 

綜上分析，的取值范圍是.                                            ……………13分