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18.如圖,在三棱錐P-ABC中,E、F、G、H分別是棱PB、PC、AB、BC的中點,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AB=AC=2.
( I)證明:FG⊥AH;
(Ⅱ)求三棱錐E-FGH的體積.

分析 (I)取AC中點D,連結(jié)FD,GD,由中位線定理及PA⊥平面ABC可得EG⊥AH,由AB=AC,GD∥BC可得AH⊥GD,故AH⊥平面EGDF,得到AH⊥FG;
(II)設(shè)AH∩GD=M,則M為AH的中點,由中位線定理得EF=2,EG=1,由平行公理的推論可得EG⊥EF,從而VE-FGH=VH-EFG=13SEFGHM

解答 證明:(I∵E,G分別是PB,AB的中點,
∴EG∥PA,∵PA⊥平面ABC,
∴EG⊥平面ABC,∵AH?平面ABC,
∴EG⊥AH,
∵AB=AC,H是BC的中點,
∴AH⊥BC,
取AC中點D,連結(jié)FD,GD,
∵G,D分別是AB,AC的中點,
∴GD∥BC,
∴AH⊥GD,
又EG?平面EGDF,GD?平面EGDF,EG∩GD=G,
∴AH⊥平面EGDF,∵FG?平面EGDF,
∴AH⊥FG.
解:(II)由(I)知EG⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴EG⊥BC,
∵E,F(xiàn)是PB,PC的中點,
∴EF∥BC,EF=12BC=12AB2+AC2=2
∴EG⊥EF.又∵EG=12PA=1,
∴S△EFG=12EFEG=12×1×2=22
∵AB⊥AC,AB=AC=2,H是BC的中點,
∴AH=12BC=12AB2+AC2=2
設(shè)AH∩GD=M,則AMAH=ADAC=12
∴HM=12AH=22
∴VE-FGH=VH-EFG=13SEFGHM=13×22×22=16

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì),棱錐的體積計算,屬于中檔題.

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(Ⅱ)若amam+1=am+2,求正整數(shù)m的值;
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