Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(

3

，0)，且離心率e=

6

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+m與該橢圓有兩個交點(diǎn)M，N，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)在直線x=1上時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)焦距，求得a和b的關(guān)系，利用離心率求得a和b的另一公式聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據(jù)MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得k和m的關(guān)系，進(jìn)而回代入判別式大于0，求得k的范圍，則直線的傾斜角的范圍可得．

解答：解：（1）依題意：

3

a2

=1∴a=

3

．（1分）
由e=

c

a

=

6

3

，得c=

2

．（2分）
∴b²=a²-c²=1．（3分）
∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1．（4分）
（2）設(shè)M，N坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
將y=kx+m代入橢圓方程，整理得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0（6分）
∴△=36k²m²-12（3k²+1）（m²-1）＞0（*）（8分）x1+x2=-

6km

3k2+1

要令P（1，n）為M，N中點(diǎn)，則x₁+x₂=2，∴-

6km

3k2+1

=2∵k≠0∴m=-

3k2+1

3k

（9分）
代入（*）得：36k2•

(3k2+1)

9k2

2-12(3k2+1)[

(3k2+1)

9k2

2-1]＞0（10分）(3k2+1)-3•

(3k2+1)2-9k2

9k2

＞0(3k2+1)-

9k4-3k2+1

3k2

＞0

9k4+3k2

3k2

-

9k4-3k2+1

3k2

＞0
6k²-1＞0（12分）
∴k＞

6

6

或k＜-

6

6

．（13分）
∴k的取值范圍是(-∞， -

6

6

)∪(

6

6

， +∞)．（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，通常有兩種方法：一是轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點(diǎn)問題（包括公共點(diǎn)個數(shù)、與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的問題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題；二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關(guān)系．