Question

1．如圖，在平面直角坐標系xOy中．橢圓C：$\frac{x^2}{2}$+y²=1的右焦點為F，直線為l：x=2
（1）求到點F和直線l的距離相等的點G的軌跡方程．
（2）過點F作直線交橢圓C于點A，B，又直線OA交l于點T，若$\overrightarrow{OT}=2\overrightarrow{OA}$，求線段AB的長；
（3）已知點M的坐標為（x₀，y₀），x₀≠0，直線OM交直線$\frac{{{x_0}x}}{2}$+y₀y=1于點N，且和橢圓C的一個交點為點P，是否存在實數(shù)λ，使得${\overrightarrow{OP}^2}=λ\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$？，若存在，求出實數(shù)λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設G（x，y），由點G到點F和直線l的距離相等，列出方程，能求出點G的軌跡方程．
（2）由題意得x_A=x_F=c=1，將x_A=1代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，能求出AB．
（3）假設存在實數(shù)λ滿足題意，由已知得OM：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}x$，$\frac{{x}_{0}x}{2}+{y}_{0}y=1$，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，分別聯(lián)立方程組，能推導出存在實數(shù)λ=1，使得${\overrightarrow{OP}^2}=λ\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{2}$+y²=1的右焦點為F，直線為l：x=2，∴F（1，0），
設G（x，y），∵點G到點F和直線l的距離相等，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x-2|，
整理，得y²=-2x+3．
∴點G的軌跡方程為y²=-2x+3．
（2）∵過點F作直線交橢圓C于點A，B，又直線OA交l于點T，$\overrightarrow{OT}=2\overrightarrow{OA}$，
∴AB⊥x軸，由題意得x_A=x_F=c=1，
∴將x_A=1代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，解得|y_A|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$．
（3）假設存在實數(shù)λ滿足題意，
由已知得OM：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}x$，①，$\frac{{x}_{0}x}{2}+{y}_{0}y=1$，②，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，③
由①②，得${x}_{N}=\frac{2{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$，${y}_{N}=\frac{2{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$，
由①③，得${{x}_{P}}^{2}=\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$，${{y}_{P}}^{2}=\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$，
∴${\overrightarrow{OP}}^{2}={{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}$=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{2（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₀x_N+y₀y_N=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{2（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}$．
∴存在實數(shù)λ=1，使得${\overrightarrow{OP}^2}=λ\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查線段長的求法，考查滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．