Question

3．已知點(diǎn)F（$\sqrt{5}$，0）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離等于2，則過點(diǎn)F且與此雙曲線只有一個交點(diǎn)的直線方程為y=2x-2$\sqrt{5}$或y=-2x+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得b=2，解方程可得a=1，求得漸近線的斜率，由直線與漸近線平行時(shí)只有一個交點(diǎn)，可得所求直線的方程．

解答 解：設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得c=$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，
點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離等于2，
即為$\frac{\sqrt{5}b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，解得b=2，a=1，
雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
漸近線方程為y=±2x，
當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)．
即有直線的方程為y=±2（x-$\sqrt{5}$）．
故答案為：y=2x-2$\sqrt{5}$或y=-2x+2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的漸近線方程的運(yùn)用，點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．