Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+4x+4，若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，t]時(shí)，f（x+a）≤4x恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 先由f（x）=（x+2）²和f（x+a）≤4x得（x+a+2）²≤4x，化簡(jiǎn)得（x+a）²+4a+4≤0，令g（x）=（x+a）²+4a+4，利用函數(shù)性質(zhì)將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（1）≤0且g（t）≤0，求解t的范圍，最后求出最值．

解答 解：由f（x）=（x+2）²，
f（x+a）≤4x，即為（x+a+2）²≤4x，
化簡(jiǎn)（x+a）²+4a+4≤0，
設(shè)g（x）=（x+a）²+4a+4，g（x）圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，
若對(duì)任意的x∈[1，t]，g（x）≤0恒成立，
只需函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值非正即可，
即g（1）=a²+6a+5≤0，配方得（a+3）²≤4，則-5≤a≤-1；
此時(shí)g（t）≤0即為g（t）=（t+a）²+4a+4≤0，
即有-4≤t-5≤4，解得1≤t≤9，
又t＞1，
則t的最大值為9．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解，是一種重要的方法．