Question

已知點(diǎn)M是圓C：上的一點(diǎn)，且軸，為垂足，點(diǎn)滿足,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積S的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）設(shè)N（x,y）,M（），則由已知得，，，                     2分
代入得，．                                                        4分
所以曲線E的方程為.                                                           5分
(Ⅱ)方法一：
因?yàn)榫�段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，
則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，
由，消去，并整理，得
.                                                          7分
設(shè)，，又,
所以，，                                                9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005822372528.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以，即，
所以，即，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005822466476.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．　　                                                      12分
又點(diǎn)到直線的距離，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005822575807.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以　                                            14分
所以，即的最大值為．                                                   15分
(Ⅱ)方法二：
因?yàn)榫�段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，
則弦不能與垂直，故可設(shè)直線的方程為，
由，消去，并整理，得
.
設(shè)，，，，又，
所以，.                                                9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005823028526.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240058231371073.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
所以，                                                                  12分
又點(diǎn)到直線的距離，所以.
所以.     
設(shè)，則，                                              14分
所以，即的最大值為．                                                 15分
點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題每年高考都會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置上，難度一般較大，關(guān)鍵是運(yùn)算量大，所以在解決此類問題時(shí)，要注意設(shè)而不求、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用.