Question

方程sinπx=[ 

x

2

-[ 

x

2

 ]+

1

2

 ]在區(qū)間[0，π]內的所有實根之和為

 

．（符號[x]表示不超過x的最大整數）．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：根據[x]的定義分別討論x的取值，利用條件求出方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]在區(qū)間[0，π]內的所有實數根，即可得到結論．

解答： 解：①若0≤x＜1，則0≤

x

2

＜

1

2

，[

x

2

]=0，

1

2

＜

x

2

+

1

2

＜1，則

x

2

-[

x

2

]+

1

2

=

x

2

+

1

2

∈（

1

2

，1），∴[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=0．
此時方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=0，此時x=0．
②若1≤x＜2，則

1

2

≤

x

2

＜1，[

x

2

]=0，1≤

x

2

+

1

2

＜

3

2

，則

x

2

-[

x

2

]+

1

2

=

x

2

+

1

2

∈[1，

3

2

），∴[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=1．
此時方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=1，在[1，2）上無解．
③若2≤x＜3，則1≤

x

2

＜

3

2

，[

x

2

]=1，

x

2

+

1

2

-[

x

2

]=

x

2

+

1

2

-1=

x

2

-

1

2

∈[

1

2

，1），∴[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=0．
此時方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=0，在[2，3）上，x=2．
④若3≤x≤π，則

3

2

≤

x

2

≤

π

2

，[

x

2

]=1，

x

2

+

1

2

-[

x

2

]=

x

2

+

1

2

-1=

x

2

-

1

2

∈[1，

π-1

2

]，∴[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=1．
此時方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=1，在[3，π）上，方程無解．
綜上：x=0或x=2是方程的根，
∴方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]在區(qū)間[0，π]內的所有實數根之和為0+2=2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，同時考查了創(chuàng)新能力，以及分類討論的思想和轉化思想，正確理解[x]的意義是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．