Question

二次函數(shù)f (x) = ax² + bx + c (a，b∈R，a≠0)滿足條件：

①當x∈R時,的圖象關(guān)于直線對稱;

② ;

③f (x)在R上的最小值為0；

（1）求函數(shù)f (x)的解析式；

（2）求最大的m (m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f (x + t)≤x

Answer 1

解析：（1）∵f (x)的對稱軸為x = 1，∴= 1即b = 2a．

又f (1) = 1，即a + b + c = 1．

由條件③知：a＞0，且= 0，即b² = 4ac．

由上可求得

∴．

（2）由（1）知：f (x) =(x + 1)²，圖象開口向上．

而y = f (x + t )的圖象是由y = f (x)平移t個單位得到，要x∈[1，m]時，f (x + t)≤x，

即y = f (x + t)的圖象在y = x的圖象的下方，且m最大．

∴1，m應(yīng)該是y = f (x + t)與y = x的交點橫坐標，

即1，m是(x + t + 1)² = x的兩根，

由1是(x + t + 1)² = x的一個根，得(t + 2)² = 4，解得t = 0，或t = -4，

把t = 0代入原方程得x₁ = x₂ = 1(這與m＞1矛盾)

把t = 4代入原方程得x² 10x + 9 = 0，解得x₁ = 1，x₂ = 9．∴m = 9．

綜上知：m的最大值為9．