Question

設(shè)函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，對(duì)任意的正數(shù)x，y滿足f（xy）=f（x）+f（y）成立，且f（3）=1，求滿足f（x）＞f（x-1）+2的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），則f（9）=2，原不等式即f（x）＞f[9（x-1）]由單調(diào)性得，

x＞0 x-1＞0 x＞9(x-1)

，解出不等式組，即可得到解集．

解答： 解：由于f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
則f（9）=f（3）+f（3）=2，
即不等式f（x）＞f（x-1）+2即為f（x）＞f（x-1）+f（9），
則有f（x）＞f[9（x-1）]
由于函數(shù)在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，
則

x＞0 x-1＞0 x＞9(x-1)

，解得 1＜x＜

9

8

，
故所求x的取值范圍為（1，

9

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，注意函數(shù)的定義域，考查不等式的解法，屬于中檔題．