(2006•朝陽區(qū)二模)已知向量
m
=(cos
x
3
,
3
cos
x
3
),
n
=(sin
x
3
,cos
x
3
),函數(shù)f(x)=
m
n

(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對的角為x,試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域.
分析:(I)由向量的數(shù)量積公式,結(jié)合三角恒等變換公式化簡得f(x)=
m
n
=sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2
;
(II)由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),解不等式2kπ-
π
2
2x
3
+
π
3
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),即可求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3kπ-
4
,3kπ+
π
4
](k∈Z);
(III)利用余弦定理和基本不等式,算出cosx≥
1
2
,從而得出x∈(0,
π
3
].再求f(x)=sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2
在區(qū)間(0,
π
3
]上的最大最小值,即可算出函數(shù)f(x)的值域.
解答:解:(Ⅰ)∵向量
m
=(cos
x
3
,
3
cos
x
3
),
n
=(sin
x
3
,cos
x
3
),
∴f(x)=
m
n
=cos
x
3
sin
x
3
+
3
cos2
x
3

=
1
2
cos2
2x
3
+
3
2
(1+cos2x)
=sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2
.…(5分)
(Ⅱ)由2kπ-
π
2
2x
3
+
π
3
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),得3kπ-
4
≤x≤3kπ+
π
4
(k∈Z).
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3kπ-
4
,3kπ+
π
4
](k∈Z).…(9分)
(Ⅲ)cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac 
2ac
2a c -ac 
2ac
=
1
2
,
∵x是△ABC的內(nèi)角,可得x∈(0,
π
3
].
2x
3
+
π
3
∈(
π
3
,
9
],可得
3
2
≤sin(
2x
3
+
π
3
)≤1
∴f(x)的值域是(
3
,1+
3
2
].…(13分)
點(diǎn)評:本題著重考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知識(shí),屬于中檔題.
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