Question

16、如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E是PD的中點(diǎn)
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求證：平面PDC⊥平面AEC．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；
（2）要證平面PDC⊥平面AEC，需要證明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC內(nèi)的兩條相交直線．

解答：解：（1）連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO，
因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，所以EO∥PB，（2分）
EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因?yàn)锳D⊥CD，且AD∩PA=A，所以CD⊥平面PAD．（8分）
因?yàn)锳E?平面PAD，所以CD⊥AE．（10分）
因?yàn)镻A=AD，E為PD中點(diǎn)，所以AE⊥PD．
因?yàn)镃D∩PD=D，所以AE⊥平面PDC．（12分）
又因?yàn)锳E?平面PAD，所以平面PDC⊥平面AEC．（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定，邏輯思維能力，是中檔題．