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2.已知橢圓Cx2a2+y2b2=1a0b0的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等邊三角形,直線x+y+221=0與以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點B,C,D是橢圓上不同于橢圓頂點的三點,點B與點D關(guān)于原點O對稱.設(shè)直線CD,CB,OB,OC的斜率分別為k1,k2,k3,k4,且k1k2=k3k4
(�。┣髃1k2的值;
(ⅱ)求OB2+OC2的值.

分析 (1)設(shè)橢圓C的右焦點F2(c,0),則c2=a2-b2(c>0),以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半 軸長為半徑的圓的方程為(x-c)2+y2=a2,圓心到直線x+y+221=0的距離d=|c+221|2=a,由此利用橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等邊三角形,能求出橢圓方程.
(Ⅱ)(i)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則D(-x1,-y1),由此能求出k1k2的值.
(ii)由k1k2=-34,得y1y2=-34x1x2,從而x12+x22=4,y12+y22=3,由此能求出OB2+OC2 的值.

解答 解:(1)設(shè)橢圓C的右焦點F2(c,0),則c2=a2-b2(c>0),
由題意,以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半 軸長為半徑的圓的方程為(x-c)2+y2=a2,
∴圓心到直線x+y+221=0的距離 
d=|c+221|2=a,(*),
∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等邊三角形,
∴b=3c,a=2c,代入(*)式得c=1,b=3,a=2,
故所求橢圓方程為x24+y23=1
(Ⅱ)(i)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則D(-x1,-y1),
∴k1k2=y2y1x2x1y2+y1x2+x1=y22y12x22x12=344x22344x12x22x12=-34
(ii)由(i)知,k1k2=-34,故y1y2=-34x1x2. 
916x12x22=y12y22=344x22344x12,
x12x22=16-4(x12+x22)+x12x22,∴x12+x22=4. 
又2=(x124+y123)+(x224+y223)=x12+x224+y12+y224,故y12+y22=3. 
∴OB2+OC2=x12+y12+x22+y22=7.

點評 本題考查方程的求法,考查兩直線的斜率之積的求法,考查兩線段的平方和的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運用.

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