分析 (1)設(shè)橢圓C的右焦點F2(c,0),則c2=a2-b2(c>0),以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半 軸長為半徑的圓的方程為(x-c)2+y2=a2,圓心到直線x+y+2√2−1=0的距離d=|c+2√2−1|√2=a,由此利用橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等邊三角形,能求出橢圓方程.
(Ⅱ)(i)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則D(-x1,-y1),由此能求出k1k2的值.
(ii)由k1k2=-34,得y1y2=-34x1x2,從而x12+x22=4,y12+y22=3,由此能求出OB2+OC2 的值.
解答 解:(1)設(shè)橢圓C的右焦點F2(c,0),則c2=a2-b2(c>0),
由題意,以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半 軸長為半徑的圓的方程為(x-c)2+y2=a2,
∴圓心到直線x+y+2√2−1=0的距離
d=|c+2√2−1|√2=a,(*),
∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等邊三角形,
∴b=√3c,a=2c,代入(*)式得c=1,b=√3,a=2,
故所求橢圓方程為x24+y23=1.
(Ⅱ)(i)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則D(-x1,-y1),
∴k1k2=y2−y1x2−x1•y2+y1x2+x1=y22−y12x22−x12=34(4−x22)−34(4−x12)x22−x12=-34.
(ii)由(i)知,k1k2=-34,故y1y2=-34x1x2.
∴916x12x22=y12y22=34(4−x22)−34(4−x12),
即x12x22=16-4(x12+x22)+x12x22,∴x12+x22=4.
又2=(x124+y123)+(x224+y223)=x12+x224+y12+y224,故y12+y22=3.
∴OB2+OC2=x12+y12+x22+y22=7.
點評 本題考查方程的求法,考查兩直線的斜率之積的求法,考查兩線段的平方和的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | {y|y∈R} | B. | {y|y≥3} | C. | {y|y≥7} | D. | {y|y>3} |
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A. | 等邊三角形 | B. | 直角三角形 | C. | 等腰三角形 | D. | 等腰直角三角形 |
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