Question

設(shè)拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂，以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，離心率為

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）若橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，求拋物線方程；
（2）在（1）的條件下，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂，與拋物線C₁交于A₁，A₂兩點(diǎn)，如果|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長(zhǎng)，求l的斜率；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)？若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C₂的離心率為

1

2

，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，即可求出a，b，c的值，進(jìn)而求出拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線方程也就能求出．
（2）在（1）的條件下，可求出橢圓方程，這樣，焦點(diǎn)三角形△PF₁F₂的周長(zhǎng)可知，也即|A₁A₂|．再利用弦長(zhǎng)公式即可．
（3）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，因?yàn)橹虚g線段長(zhǎng)度為2m，所以，最短線段長(zhǎng)度為2m-1，再用拋物線定義即可求出．

解答：解：（1）∵橢圓C₂的離心率為

1

2

，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，∴

3

，
∵物線C₁：y²=4mx（m＞0）的焦點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，∴

p

2

=1，∴拋物線方程y2=4x
（2）由（1）可知，橢圓方程為

x2

4

+ 

y2

3

= 1，所以△PF₁F₂的周長(zhǎng)為2a+2c=6．
①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-1），代入y2=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
∴|A₁A₂|=

1+k2

|x1-x2|=

4

k4

+

8

k2

-5=0，解得，k=±

2

．
②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，A1點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

2

）A2（1，-

3

2

），∴|A₁A₂|=2

3

≠6，不成立．
綜上，直線l的斜率為±

2

．
（3）由題意可知，橢圓中c=m．橢圓C₂離心率為

1

2

，∴a=2c．
∴橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

= 1由，

x2 4m2 + y2 3m2 = 1 y2=4mx

得P點(diǎn)橫坐標(biāo)為

2

3

m，在橢圓中，|PF₁|+|PF₂|=2a=4m，
|F₁F₂|=2m，∴|PF₂|，|F₁F₂|，|PF₁|成等差數(shù)列，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，則PF₂|=|F₁F₂|-1=2m-1，又因?yàn)镻在拋物線上，
∴|F₁F₂|=

2

3

m+m，∴m=3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓，拋物線，與直線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，做題時(shí)認(rèn)真觀察，找出切入點(diǎn)．