Question

如圖，已知點P在圓柱OO₁的底面圓O上，AB為圓O的直徑，OA=2，∠AOP=120°，三棱錐A₁-APB的體積為．
（1）求圓柱OO₁的表面積；
（2）求異面直線A₁B與OP所成角的大小．�。ńY果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

解：（1）由題意，在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，所以…（1分）
在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，所以BP=2…（2分）
∴=，解得AA₁=4，…（4分）
故．…（6分）
（2）取AA₁中點Q，連接OQ，PQ，則OQ∥A₁B，
得∠POQ或它的補角為異面直線A₁B與OP所成的角．…（8分）
又，AQ=AO=2，得，PQ=4，
由余弦定理得，…（10分）
得異面直線A₁B與OP所成的角為．…（12分）
分析：（1）由題意可得，BP=2，進而可得關于AA₁的等式，可得AA₁，代入表面積公式可得答案；
（2）取AA₁中點Q，連接OQ，PQ，可得∠POQ或它的補角為異面直線A₁B與OP所成的角，由余弦定理可得，代入數(shù)值可得答案．
點評：本題考查圓柱的表面積，以及異面直線所成的角，屬中檔題．