解:(1)(法一)
?qa
n-a
n=d?(q-1)a
n=d
當q=1時,∵a
n≠0,所以d=0;
當q≠1時,
是一常數(shù),矛盾,所以{a
n}為非零常數(shù)列; (5分)
(法二)設a
n=a
1+(n-1)d,則有:
,
即a
1+nd=(a
1q-qd)+qdn(2分)
所以
,解得
.由此可知數(shù)列{a
n}為非零常數(shù)列; (5分)
(2)記a
n2=b
n,由(1)證明的結論知:{a
n2}為非零常數(shù)列.(2分)
顯然,{a
n2}為非零常數(shù)列時,{a
n}不一定為非零常數(shù)列,如:非常數(shù)數(shù)列a
n=(-p)
n(p為大于0的正常數(shù))和常數(shù)列a
n=p(p為非零常數(shù))均滿足題意要求.(5分)
(3)若{a
n}滿足a
n+1m-a
nm=d'(常數(shù))且
(常數(shù)),則當m為奇數(shù)時,{a
n}必為非零常數(shù)列;當m為偶數(shù)時,{a
n}不一定為非零常數(shù)列.
或者:設a
nm=a
1m+(n-1)d,即a
nm=A+Bn,則
,即
對一切n∈N
*均為常數(shù),則必有B=0,即有a
nm=A,當m為奇數(shù)時,
,當m為偶數(shù)時,
或者
.3°{a
n}滿足a
n+1m-a
nm=d'(常數(shù))且
(常數(shù)),且m、l為整數(shù),
當m、l均為奇數(shù)時,{a
n}必為非零常數(shù)列;否則{a
n}不一定為常數(shù)列.
事實上,條件
(正常數(shù))可以轉化為
(常數(shù)),整個問題轉化為2°,結論顯然成立.(結論5分)
或者:設a
nm=a
1m+(n-1)d,即a
nm=A+Bn,當m為奇數(shù)時,有
,則
,即
對一切n∈N
*均為常數(shù),則必有B=0,即有a
nm=A,則
,當m為偶數(shù)時,如反例:a
n=(-1)
nn∈N
*,它既滿足m次方后是等差數(shù)列,又是l(不管l為奇數(shù)還是偶數(shù))次方后成等比數(shù)列,但它不為常數(shù)列.4°{a
n}滿足a
n+1m-a
nm=d'(常數(shù))且
(常數(shù)),m、l為有理數(shù),q′>0,則{a
n}必為非零常數(shù)列;否則{a
n}不一定為常數(shù)列.
證明過程同3°(結論6分)5°{a
n}滿足a
n+1m-a
nm=d'(常數(shù))且
(常數(shù)),且m、l為實數(shù),q′>0,{a
n}是不等于1的正數(shù)數(shù)列,則{a
n}必為非零且不等于1的常數(shù)列;否則{a
n}不一定為常數(shù)列.
事實上,當q′>0,m、l為實數(shù)時,條件
同樣可以轉化為
,記a
nm=b
n,由第(1)題的結論知:{b
n}必為不等于1的正常數(shù)數(shù)列,也即{a
nm}為不等于1的正常數(shù)數(shù)列,
,從而{a
n}也是不等于1的正常數(shù)數(shù)列.
(結論7分)
分析:(1)由已知,結合等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式,建立q,d的關系,
(法一)證出d=0,,并說明項不為0即可.
(法二)證出q=1,并說明項不為0即可
(2)由(1)證明的結論知:{a
n2}為非零常數(shù)列,可舉反例說明{a
n}是否為非零常數(shù)列
(3)指數(shù)由1,2進行推廣到一般 時,由(1)代表了指數(shù)為奇數(shù)、且命題為真命題的情形,(2)代表了指數(shù)為偶數(shù),且命題為真命題的情形 的情形,可據(jù)這兩式寫出正確的結論.
點評:本題考查歸納推理,借用了數(shù)列的形式.用到了等差、等比數(shù)列的定義、判斷,有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則等知識.