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2.如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=3,AB=2,∠ABC=60°,點E為PC的中點,點F在PD上,且PF=2FD.
(Ⅰ)證明:BE∥平面AFC;
(Ⅱ)求二面角F-AC-D的余弦值.

分析 (Ⅰ)建立坐標系求出平面AFC的法向量,利用向量法即可證明:BE∥平面AFC;
(Ⅱ)求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角F-AC-D的余弦值.

解答 解:(Ⅰ)以A為坐標原點,直線AD、AP分別為y軸、z軸,平面ABCD內(nèi)過A點垂直AD的直線為x軸,
建立如圖所示空間直角坐標系.
由題意知相關(guān)各點的坐標分別為A(0,0,0),B(3,-1,0),
C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,3)…(2分)
由點E為PC的中點,點F在PD上,且PF=2FD得:
E(32,12,32),F(xiàn)(0,43,1)
所以 AF=(0,43,1),AC=(3,1,0),BE=(-32,32,32),
設(shè)n=(x,y,z)是平面AFC的法向量,
{nAF=0nAC=0,所以{43y+z=03x+y=0,
令y=1取得平面AFC的一個法向量為n=(-33,1,-43).…(5分)
nBE=(-33,1,-43).(-3232,32)=12+32-2=0,
nBE
又BE?平面AFC,
所以BE∥平面AFC.…(8分)
(Ⅱ)由PA⊥平面ABCD知平面ACD的一個法向量為m=(0,0,3),
因為cos<n,m>=413+1+1699=-277,
由題中條件可知二面角F-AC-D為銳角,所以它的余弦值為277.…(12分)
注:第一問用幾何方法證明記(6分).其他解法相應(yīng)記分.

點評 本題主要考查線面平行的判斷以及二面角的求解,建立空間坐標系,求出平面的法向量,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.

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