分析 (Ⅰ)建立坐標系求出平面AFC的法向量,利用向量法即可證明:BE∥平面AFC;
(Ⅱ)求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角F-AC-D的余弦值.
解答 解:(Ⅰ)以A為坐標原點,直線AD、AP分別為y軸、z軸,平面ABCD內(nèi)過A點垂直AD的直線為x軸,
建立如圖所示空間直角坐標系.
由題意知相關(guān)各點的坐標分別為A(0,0,0),B(√3,-1,0),
C(√3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,3)…(2分)
由點E為PC的中點,點F在PD上,且PF=2FD得:
E(√32,12,32),F(xiàn)(0,43,1)
所以 →AF=(0,43,1),→AC=(√3,1,0),→BE=(-√32,32,32),
設(shè)→n=(x,y,z)是平面AFC的法向量,
則{→n•→AF=0→n•→AC=0,所以{43y+z=0√3x+y=0,
令y=1取得平面AFC的一個法向量為→n=(-√33,1,-43).…(5分)
由→n•→BE=(-√33,1,-43).(-√32,32,32)=12+32-2=0,
則→n⊥→BE
又BE?平面AFC,
所以BE∥平面AFC.…(8分)
(Ⅱ)由PA⊥平面ABCD知平面ACD的一個法向量為→m=(0,0,3),
因為cos<→n,→m>=−4√13+1+169•√9=-2√77,
由題中條件可知二面角F-AC-D為銳角,所以它的余弦值為2√77.…(12分)
注:第一問用幾何方法證明記(6分).其他解法相應(yīng)記分.
點評 本題主要考查線面平行的判斷以及二面角的求解,建立空間坐標系,求出平面的法向量,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | \sqrt{6} | B. | \sqrt{5} | C. | 2 | D. | \sqrt{2} |
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