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8.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=4,BC=3,AA1=4,AC⊥BC,點M在線段AB上.
(Ⅰ)若M是AB中點,證明AC1∥平面B1CM;
(Ⅱ)當BM長是多少時,三棱錐B1-BCM的體積是三棱柱ABC-A1B1C1的體積的19?

分析 (I)取A1B1中點N,連結C1N,AN,MN,則由C1N∥CM,AN∥B1M可得平面AC1N∥平面B1CM,從而AC1∥平面B1CM;
(II)由VB1BCM=19VABCA1B1C1=13VB1ABC可知S△BCM=13SABC,于是BM=13AB

解答 (I)證明:取A1B1中點N,連結C1N,AN,MN.
∵四邊形ABB1A1是矩形,∴MN=AA1=CC1,
∴四邊形CMNC1是平行四邊形,
∴CM∥C1N,∵C1N?平面B1CM,CM?平面B1CM,
∴C1N∥平面B1CM,
同理可證:AN∥平面B1CM,
又CN?平面AC1N,AN?平面AC1N,AN∩C1N=N,
∴平面AC1N∥平面B1CM,∵AC1?平面AC1N,
∴AC1∥平面B1CM.
(II)解:∵BC=3,AC=4,AC⊥BC,
∴AB=AC2+BC2=5.
∵VB1BCM=19VABCA1B1C1,VB1ABC=13VABCA1B1C1
∴VB1BCM=13VB1ABC
∴S△BCM=13S△ABC
∴BM=13AB=53

點評 本題考查了線面平行的判定,棱錐的體積公式,構造平面AC1N∥平面B1CM是解題關鍵.

練習冊系列答案
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